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神经网络量化入门
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本文首发于公众号 在之前的文章中提到过可以把 ReLU 合并到 Conv 中加速量化推理，当时只是用一个例子简单介绍一下过程，逻辑上存在一些漏洞。本文打算从数学上深入剖析一下其中的原理，并进一步扩展到其他激活函数，看看在网络量化中激活函数一般是怎么处理的。 温故知新为了简单起见，假设我们是量化到 uint8 的数值范围「即0~255」。回忆一下量化的基本公式「我在之前的文章中多次强调这几个公式，它们非常重要」 \[\begin{align} r&=S(q-Z) \tag{1} \\ q& = clip(round(\frac{r}{S}+Z),0,255) \tag{2} \end{align} \]再简单重复一下符号的含义，\(r\) 表示实数，\(q\) 表示量化后的定点数，\(S\) 和 \(Z\) 分别是是 scale 和 zero point。 注意，这次我对 \(q\) 单独加了一个 clip 操作，在之前的文章中，这一步在公式中被我省略了，不过在实际量化的时候，这一步是必须的，否则会有数值溢出的危险。 现在，假设激活函数为 \(f(x)\)，应用到实数域上是这个样子： \[r_2=f(r_1) \tag{3} \]那么把 (1) 式代入后可以得到量化的公式： \[S_2(q_2-Z_2)=f(S_1(q_1-Z_1)) \tag{4} \]这就是量化时处理所有激活函数的总口诀，别看它平平无奇，但话越少，信息量越多。下面，我们就看看针对具体的激活函数，怎么运用这个公式。 ReLUReLU 是一个非常简单的函数，它除了把小于 0 的数值截断外，甚至不做任何操作： \[\begin{align} ReLU(x)=\begin{cases} x & x >= 0 \\ 0 & x < 0 \end{cases} \tag{5} \end{align} \]如果把上面的函数 \(f\) 替换成 ReLU 的公式，就可以得到： \[\begin{align} r_2=\begin{cases} r_1 & r_1 >= 0 \\ 0 & r_1= Z_1 \\ 0 & q_1 < Z_1 \end{cases} \tag{7} \]换算一下可以得到： \[q_2=\begin{cases} \frac{S_1}{S_2}(q_1-Z_1)+Z_2 & q_1 >= Z_1 \\ Z_2 & q_1 < Z_1 \end{cases} \tag{8} \]这是量化 ReLU 最通用的运算，其中 \(\frac{S_1}{S_2}\) 可以通过之前文章讲的定点数 + bitshift 来实现。 需要重点指出的是，ReLU 之后，\(Z_2\) 永远等于 0。因为 ReLU 会把实数域上小于 0 的数全部截断为 0，此时去统计实数域的范围，可以发现是 0~a，而我们量化的数值范围是 0～255，为了保证零点对齐，因此 \(Z_2\) 只能取 0。 当然啦，具体实现上没有必要完全按照 (8) 式来操作。一来公式内的 scale 操作过于麻烦还掉精度，二来 ReLU 本身是有明确的物理意义的，那就是把小于零点的数值截断，其余不变。这个意义在量化里面依然成立。 因此，我们其实可以用一种更简洁明了的方式来实现量化的 ReLU： \[q_2=\begin{cases} q_1 & q_1 >= Z_1 \\ Z_1 & q_1 < Z_1 \end{cases} \tag{9} \]如果是使用这个公式，那 ReLU 前后的 scale 和 zeropoint 是要保持一致的，这一点可以从 ReLU 本身的物理含义出发得出。 tflite 里面就是用了这个简化的公式来实现 ReLU 的功能「下面这段代码参考自https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r1.15/tensorflow/lite/kernels/internal/reference/reference_ops.h#L214」： template inline void ReluX(const tflite::ActivationParams& params, const RuntimeShape& input_shape, const T* input_data, const RuntimeShape& output_shape, T* output_data) { gemmlowp::ScopedProfilingLabel label("Quantized ReluX (not fused)"); const int flat_size = MatchingFlatSize(input_shape, output_shape); const T max_value = params.quantized_activation_max; const T min_value = params.quantized_activation_min; for (int i = 0; i < flat_size; ++i) { const T val = input_data[i]; const T clamped = val > max_value ? max_value : val < min_value ? min_value : val; output_data[i] = clamped; } }可以看出，这个量化的 ReLU 和浮点数版本的 ReLU 逻辑上几乎没有区别。 ReLU如何勾搭上Conv其实不止是 Conv，全连接层 FC 等也可以和 ReLU 合并。我们来看看为什么。 同样地，假设一个卷积操作为 \(r_3=\sum_{i}^N r_1^i r_2^i\)，按照之前文章的描述，量化后的公式为： \[S_3(q_3-Z_3)=S_1S_2 \sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2) \tag{10} \]现在，\(q_3\) 进入 ReLU 进行运算得到 \(q_4\)，按照上面的推算可以得出： \[\begin{align} S_4(q_4-Z_4)&=\begin{cases} S_3(q_3-Z_3) & q_3 >= Z_3 \\ 0 & q_3 < Z_3 \end{cases} \\ \notag &=\begin{cases} S_1S_2 \sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2) & q_3 >= Z_3 \\ 0 & q_3 < Z_3 \end{cases} \end{align} \tag{11} \]换算一下得到： \[q_4=\begin{cases} \frac{S_1S_2}{S_4}\sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2)+Z_4 & q_3 >= Z_3 \\ Z_4 & q_3 < Z_3 \end{cases} \tag{12} \]到这里，这个式子仍然是 ReLU 的形式。换句话说，我们仍然要走两个分支来计算函数的结果。 但是，如果要把 ReLU 合并到 Conv 中，就必须得用 Conv 的运算来代替这个分支运算。换句话说，\(q_4\) 无论跑哪个分支，都必须可以用 \(\frac{S_1S_2}{S_4}\sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2)+Z_4\) 直接计算出来，我们才能实现 Conv 和 ReLU 的合并。 这时，就要用到量化中的 clip 操作了。上面式子 (12)，其实更严格的写法应该是： \[q_4=\begin{cases} clip(\frac{S_1S_2}{S_4}\sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2)+Z_4, 0, 255) & q_3 >= Z_3 \\ Z_4 & q_3 < Z_3 \end{cases} \tag{13} \]前面说了，\(Z_4=0\)。如果 \(q_3 < Z_3\)，那么等价地 \(\sum_{i}^N (q_1-Z_1)(q_2-Z_2)= 0 \\ \alpha x & x < 0 \end{cases} \tag{15} \] 这里面的 \(\alpha\) 是我们事先指定的数值，一般是 0~1 之间的小数。 同样地，我们按照文章最开始的总口诀，即公式 (3)(4)，来逐步分析这个函数。把原来的函数 \(f\) 替换成 LeakyReLU，可以得到： \[r_2=\begin{cases} r_1 & r_1 >= 0 \\ \alpha r_1 & r_1 < 0 \end{cases} \tag{16} \]把 (1) 式代入： \[S_2(q_2-Z_2)=\begin{cases}S_1(q_1-Z_1) & q_1 >= Z_1 \\ \alpha S_1(q_1-Z1) & q_1 < Z_1 \end{cases} \tag{17} \]换算一下得到： \[q_2=\begin{cases}\frac{S_1}{S_2}(q_1-Z_1)+Z_2 & q_1 >= Z_1 \\ \frac{\alpha S_1}{S_2}(q_1-Z_1)+Z_2 & q_1 < Z_1 \end{cases} \tag{18} \]此时，由于有 \(\alpha\) 的存在，这两个分支就无法像 ReLU 一样进行合并，自然也就无法整合到 Conv 等操作内部了。 在 tflite 中是将 \(\alpha\) 转换为一个定点数再计算的。具体地，假设 \(\alpha_q=clip(round(\frac{\alpha}{S_1}+Z_1), 0, 255)\)，可以得到： \[q_2=\begin{cases}\frac{S_1}{S_2}(q_1-Z_1)+Z_2 & q_1 >= Z_1 \\ \frac{S_1S_1}{S_2}(\alpha_q-Z_1)(q_1-Z_1) & q_1 < Z_1 \end{cases} \tag{19} \]具体代码如下「参考自https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r1.15/tensorflow/lite/kernels/activations.cc#L248」： TfLiteStatus LeakyReluPrepare(TfLiteContext* context, TfLiteNode* node) { TF_LITE_ENSURE_EQ(context, NumInputs(node), 1); TF_LITE_ENSURE_EQ(context, NumOutputs(node), 1); const TfLiteTensor* input = GetInput(context, node, 0); TfLiteTensor* output = GetOutput(context, node, 0); TF_LITE_ENSURE_EQ(context, input->type, output->type); LeakyReluOpData* data = reinterpret_cast(node->user_data); if (output->type == kTfLiteUInt8) { const auto* params = reinterpret_cast(node->builtin_data); // Quantize the alpha with same zero-point and scale as of input data->q_alpha = static_cast(std::max( std::numeric_limits::min(), std::min(std::numeric_limits::max(), std::round(input->params.zero_point + (params->alpha / input->params.scale))))); double real_multiplier = input->params.scale * input->params.scale / output->params.scale; QuantizeMultiplierSmallerThanOneExp( real_multiplier, &data->output_multiplier, &data->output_shift); } return context->ResizeTensor(context, output, TfLiteIntArrayCopy(input->dims)); }这段代码主要是做一些准备工作，把 \(\alpha_q\) 和 \(\frac{S_1S_1}{S_2}\) 等变量事先计算好。 函数本身的具体操作如下「参考自https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/r1.15/tensorflow/lite/kernels/internal/reference/reference_ops.h#L242」： template inline void QuantizeLeakyRelu(const LeakyReluParams& params, T q_alpha, const RuntimeShape& input_shape, const T* input_data, const RuntimeShape& output_shape, T* output_data) { gemmlowp::ScopedProfilingLabel label("LeakyRelu (not fused)"); const int flat_size = MatchingFlatSize(input_shape, output_shape); static const int32 quantized_min = std::numeric_limits::min(); static const int32 quantized_max = std::numeric_limits::max(); static const int32 alpha_value = q_alpha - params.alpha_offset; for (int i = 0; i < flat_size; ++i) { const int32 input_value = input_data[i] - params.input_offset; if (input_value >= 0) { output_data[i] = input_data[i]; } else { const int32 unclamped_output = params.output_offset + MultiplyByQuantizedMultiplierSmallerThanOneExp( input_value * alpha_value, params.output_multiplier, params.output_shift); const T clamped_output = std::min(quantized_max, std::max(quantized_min, unclamped_output)); output_data[i] = static_cast(clamped_output); } } }代码里面的 input_value 就是公式 (19) 里面的 \(q_1-Z_1\)，tflite 会根据 input_val 的数值情况分两个分支运行，这个过程和 (19) 基本一致。 眼尖的读者可能发现，为啥 \(q_1>Z_1\) 这个分支，代码里面好像直接令 \(q_2=q_1\) 了，这跟公式 (19) 描述的好像不一样啊。哈哈，这个地方我也暂时不明白，了解详情的读者请教教我，或者我之后弄懂再补充一下。 非线性函数对于类 ReLU 函数来说，其实还都是分段线性的，那遇到非线性的函数「比如 sigmoid、tanh」又该怎么量化呢？从 gemmlowp 的文档来看，这些函数其实是用定点运算来近似浮点的效果。这部分内容触及到我的知识盲区，所以就不给大家做深入介绍了，感兴趣的读者可以看一下 gemmlowp 的源码进一步了解：https://github.com/google/gemmlowp/blob/master/fixedpoint/fixedpoint.h。 虽然我对里面的原理了解不多，但还是有一点点落地的经验。我曾经用高通骁龙的 SNPE 工具量化了 tanh 函数，但在 DSP 上跑定点运算的时候，发现耗时比在 GPU 上跑浮点运算满了 100 倍左右。 因此对于有落地需求的同学来说，我的建议是网络中尽量不要包含这类非线性函数。如果实在要有的话，要么尝试把网络拆成几块，一些跑定点，一些跑浮点，要么就是用一些线性函数来近似这些非线性函数的效果。 总结这篇文章主要讲了网络量化中如何处理激活函数，并从数学上进一步剖析为何 ReLU 可以和 Conv 等操作合并。 你可能已经发现，网络量化这个课题跟底层的实现联系非常紧密，比如涉及到 gemmlowp、neon 等底层函数库等。有读者会说：我只想老老实实研究算法，对这些底层的运算不了解也没兴趣了解啊！ 对于这部分读者，其实也不用焦虑，诚然，网络量化对底层的联系相比其他深度学习算法而言更加紧密，但对于顶层的算法开发人员，只需要大概知道底层是怎么运行的就可以，而把更多的精力放在对量化算法的改进上。当然啦，如果想成为一流的网络量化专家，熟悉底层还是很有必要的，否则你怎么知道未来算法的发展趋势呢？ 最近陆续填了一些坑，之后应该会介绍一些更前沿且对落地比较友好的论文和技术了。感谢大家在我断更这么久后依然不离不弃。 欢迎关注我的公众号「大白话AI」，立志用大白话讲懂AI 
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